MATEMATİĞİN KISA BİR TARİHİ

Matematik, bir yönüyle resim ve müzik gibi bir sanat, bir yönüyle bir dil ve başka bir yönüyle de tabiatı anlamaya yönelik yöntemler manzumesidir. Matematiğin yazılı belgelere dayalı 4500 yıllık bir tarihi vardır. Bu zaman dilimi içinde, matematiğin gelişimi 5 döneme ayrılır.

Birinci dönem, başlangıçtan M.Ö. 6. yüzyıla kadar, Mısır ve Mezopotamya'da yapılan matematiği kapsar. Mısır'da bilinen matematik, tam ve kesirli sayıların 4 işlemi, bazı geometrik şekillerin alan ve hacim hesaplarıdır. Bugün okullarımızda öğretilen matematiğin ortaokul 2. sınıfa kadarki kısmı olarak değerlendirebiliriz. Aynı dönemde Mezopotamya'da matematik biraz daha ileridir; onların bildikleri matematiğin düzeyi de lise 2. sınıf matematiği düzeyidir. 

Matematik, bir yönüyle resim ve müzik gibi bir sanat, bir yönüyle bir dil ve başka bir yönüyle de tabiatı anlamaya yönelik yöntemler manzumesidir. Matematiğin yazılı belgelere dayalı 4500 yıllık bir tarihi vardır. Bu zaman dilimi içinde, matematiğin gelişimi 5 döneme ayrılır.

Birinci dönem, başlangıçtan M.Ö. 6. yüzyıla kadar, Mısır ve Mezopotamya'da yapılan matematiği kapsar. Mısır'da bilinen matematik, tam ve kesirli sayıların 4 işlemi, bazı geometrik şekillerin alan ve hacim hesaplarıdır. Bugün okullarımızda öğretilen matematiğin ortaokul 2. sınıfa kadarki kısmı olarak değerlendirebiliriz. Aynı dönemde Mezopotamya'da matematik biraz daha ileridir; onların bildikleri matematiğin düzeyi de lise 2. sınıf matematiği düzeyidir. Matematik, günlük hayatın ihtiyaçlarına (takvim belirlemek, muhasebe ve mimari hesaplar gibi) yönelik, henüz sanat düzeyine ulaşmamış, zanaat düzeyinde bir uğraşıdır. Formel ifadeler, formüller ve akıl yürütmeye dayalı ispatlar yoktur. Bulgular ampirik ve işlemler sayısaldır.

İkinci dönem, M. Ö. 6. yy'dan M. S. 6. yy'a kadar uzanan Yunan matematiği dönemidir. Matematiğin nitelik değiştirdiği, zanaat düzeyinden sanat düzeyine geçtiği dönemdir. Yunan matematiğinin başlangıcında Mısır ve Mezopotamya varsa da Yunan döneminde, matematiğin günümüze kadar yönü belirlenmiş, bir sıçrama yapılmıştır. Matematiğe en önemli katkılar Platon'un akademisinde ve iskenderiye'deki Museum'da yetişen bilim adamlanndan gelmiştir. Yunan matematiği esasta 'sanat için sanat' anlayışıyla yapılan ve günümüz manasında modern bir matematiktir.

Üçüncü dönem, M.S. 6. yy'dan 17. yy'ın sonlanna kadar olan dönemdir. Bu dönemde, matematiğin yaşadığı dünya islam dünyası ve Hindistan'dır. Müslümanların matematiğe katkısı büyük bir tartışma konusudur. Kimilerine göre, Müslümanların matematiğe, Yunan matematiğini yaşatmak ve Batı'ya transfer etmekten öte, bir katkıları olmamıştır. Kimilerine göre ise, Müslümanların matematiğe özgün kalkılan olmuştur. (Bu katkılar Avrupalı matematikçiler tarafından tekrar bulunmuş ya da göz ardı edilmiştir.) Müslümanların matematiğe katkısı yeterince

araştırılmamıştır. Son yıllarda yapılan araştırmalar, matematiğin en önemli buluşu olan türevin, Avrupalılardan 500 yıl önce Azerbaycanlı Şerafettin Al-Tusi tarafından bulunmuş olduğunu ortaya çıkarmıştır. Tarihi olaylar- Haçlı seferleri, Moğol istilası ve dahili olaylar-, islam dünyasının nakli bilimlere geçmesine ve sonuç olarak bilimin yerini safsatanın almasına neden olmuştur. 16. yy' da matematikte tek söz sahibi Avrupalılardır.

Dördüncü dönem, 1700-1900 yıllan arasını kapsar ve 'Klasik Matematik Dönemi' olarak bilinir. Matematiğin 'Altın Çağları' olarak da anılır. Büyük hipotez ve teorilerin ortaya çıktığı, matematiğin kullanım alanının bütün bilim dallarını kapsayacak şekilde genişlediği bir dönemdir. Matematik, bütün pozitif bilimlerin temelim oluşturacak bir konuma gelmiştir. Bugün üniversitelerde okutulan matematiğin büyük bir kısmı bu dönemin ürünüdür.

Beşinci dönem, 1900'lü yılların başından günümüze uzanan, 'Modern Matematik Dönemi' olarak adlandırılan dönemdir. Modern matematik, klasik matematiğin anayasal bir tabana oturtulmuş şeklidir.

1900'lü yılların başına gelindiğinde, matematik büyük bir kompleksiteye ulaşmıştı. Böylesi karmaşık bir sistemde alışılageldiği şekilde matematik yapmak, 'bir ispat niçin geçerlidir; ispatın da ispatı gerekli midir?' gibi matematiğin temellerini sorgulayan sorunları ortaya çıkarmıştır. Matematik deneysel bir bilim olmadığı için, nihai yargıyı deneye bırakmak olanağı yoktur.

Bu sorunların, 'meşru' bir zeminde çözüme ulaştırılacağını anlayan matematikçiler, matematiği tutarlı yasalara dayalı bir temele oturtma çabasına giriştiler. Modern matematik bu uğraşının ürünüdür. Modern matematiğin en önemli özellikleri, önceki dönemlere kıyasla, çok daha soyut, göreceli ve kuramsal oluşudur.

Matematik çok hızlı gelişen, çok yüksek bir teknik düzeye erişmiş, elde edilen bilgilerin üst üste yığıldığı, bir bilginin diğeri tarafından kullanımdan kaldırılmadığı, bu nedenle de gittikçe zorlaşan ama bir o kadar da çekici, ancak tutku ile yapılabilen bir bilimdir.

Prof. Dr. Ali Ülger

Matematiğin Gelişimi ve Diğer Bilimler Arasındaki Yeri

      Yontma Taş Çağı’ndan Pisagor’un devrine kadar matematik 

Her bilimsel gelişmenin temeli Matematiğe dayanır. Her şeyde matematik vardır. Doğada her şeyde matematik vardır. Güneşin, ayın hareketlerinde şekillerinde matematik vardır.
Her şeyde Matematiğin izlerine rastlamak mümkündür. 
Bütün Bilim dallarının temelinde Matematik vardır.
Çünkü, Mantık ve matematiksel düşünce ile Felsefe ve Psikoloji, müzik aletlerinin seslerinin tiz ve kalınlığının tespit edilmesinde matematik hesap, astronomide matematik, bilgisayar bilimlerinde, bilgisayar mühendisliğinde matematik, hukuk bilgilerinde matematik düşünce, tıpta ve biyolojide matematik istatistik ve bir sürü burada sayamayacağımız kadar çok alanda matematik tarih boyunca hep kullanılarak bugüne gelinmiştir.

Pisagor daha da ileri giderek tanrı sayıdır sayılar evreni yönetir demiştir. Pisagor’un dönemine ve adıyla anılan teoreminin ispatını yaptığı zamana gelmeden pek öncesinde de Mısır ve Babillilerde insanların bazı matematik bilgilerine sahip olduğunu arkeolojik eserlerden biliyoruz.

Milattan Önce 30.000 ile M.Ö. 3.000 arası Matematik

Matematik ile ilgili bilgilere en eski tarih olarak milattan önce 30.000 yıllarında rastlamaktayız. O yüzyıllarda insanların kemiklerin üzerine rakamların çiziklerle işaretlendiğinden arkeolojik kazılardan haberdarız. Milattan önce 25.000 yıllarında ilk geometrik şekiller kullanılıyordu. İnsanoğlu vahşi hayvanlardan korunmak, barınmak, aç kalmamak için avlanmak zorunda kaldığı bu çağlarda on binlerce yıl pek fazla elle tutulur buluş yapamadı, bulunan buluşlar da insanların birbirinden uzak bölgelerde yaşaması sebebiyle muhtemelen diğer insanlara ulaşamadan bulan kişi öldüğünde yok olup gidiyordu.

Milattan önce 5.000 yıllarında Mısır’da ondalık sayı sistemi kullanılmaya başlanmıştı. Milattan önce 4.000 yıllarında Mısırlılar ve Babilliler takvim kullanmaya başlamışlar. Milattan önce 3.400 yıllarında Mısır’da rakamlar için ilk defa semboller kullanılmaya başlanmış ve basit doğrular kullanılmaya başlanmış.

M.Ö.3.000-M.Ö.2.000arası Matematik

Milattan önce 3.000 yıllarında Orta Doğu’da hesap tahtası (abacus) geliştirilmiş ve Akdeniz çevresinde alanlar kullanılmaya başlanmış. O çağlarda çeşitli rakamlar Mısır’da kullanılıyordu ve Babilliler finansal işlemleri kaydetmek için altmışlı sayı sistemini kullanıyorlardı; bu sıfırın olmadığı bir sistemdi. Altmışlı sayı sistemi Babillilerden günümüze bir saatin 60 da biri dakika ve bir dakikanın 60 da biri saniye olarak kullandığımız zaman ölçü birimlerinde kullanılarak günümüze kadar gelmiştir. Babillilerin neden 60 lı sayı sistemini kullandıklarını düşündüğümüzde 60 sayısının bölenlerinin çok olmasının etkili olduğunu ve 60 ın 2, 3, 4, 5, 6, ,10, 12, 15, 20 , 30 sayılarına kalansız bölündüğünü görüyoruz. O çağ insanının belli bir miktar yiyeceğin veya kıymetli bir şeyin bölen sayılar kadar kişiye dağıtılmasında sağladığı kolaylık onları buna yönlendirmiş olabilir. Milattan önce 2.770 yıllarında Mısır takvimi kullanımdaydı. O zamanlar Mısırlılar ağırlık ve ölçünün düzgün bir ondalık sistemini kullanıyorlardı.

                           
                                                Pisagor Teoremi’nin Bulunuşu

Quadratik denklemleri çözmüş olan Babilliler şüphesiz o yıllarda Pisagor teoremini biliyorlardı. Pisagor teoremini ve diğer matematik bilgilerini astronomi bilgilerini geliştirmek için kullandılar. Oysa teoreme adını veren Pisagor’un doğması için en az bin yıl daha geçmesi gerekiyordu. 

Kısa kenarları a ve b birim uzunluğunda olan ve uzun kenarı (hipotenüsü) c birim uzunluğunda olan bir dik üçgende kısa kenarların kareleri toplamı uzun kenarın karesine eşittir. 

a2+b2=c2

Eski Mısırlılarda matematik bulmaca problemleri

Milattan önce 1.900 yıllarında Moskova papirüsü( Golenishev papirüsü olarak da bilinir) yazıldı. Bu papirüs Mısır geometrisinin ayrıntılarını vermektedir. 
Eski Mısırlılarda matematik, bulmaca problemlerinde de çok kullanılıyordu. M.Ö. 1850 de yazılmış olan Rhind papirüsü eski dönem Mısırlı matematikçilerin bulmaca türü matematiği geniş bir şekilde temel aldıklarını göstermektedir. Şu bulmaca tipi matematik sorusu gerçekten ilginçtir:

Yedi evin yedi kedisi var.Her bir kedi yedi fare öldürür. Her fare yedi tane buğday tanesi yemiştir. Her bir buğday tanesi ekilseydi yedi başak filizlendirirdi. Acaba bu sayıların hepsinin toplamı kaçtır. 
7+72+73+74+75=7(1+7+72+73+74)
=7(1-75)/(1-7)

Babilliler M.Ö. 1.800 de çarpım tablosunu kullanmaya başladılar. M. Ö. 1.750 de karekök ve küp kök tablolarını oluşturdular. Matematiği astronomi bilgilerini geliştirmek için kullandılar.

Thales (M.Ö.624-M.Ö.547) 

M.Ö. 575 de Thales Babil matematiğini Yunanistan’a getirdi. M.Ö.624-M.Ö.547 arasında yaşamış olan Thales’in ataları Fenikeliler olup, Antik dönemin ünlü filozofudur.Meşhur Miletos Okulu' nun kurucusudur. Thales zamanımıza kadar intikal eden yazılı bir eser bırakmamıştır ancak düşünceleri öğrencileri yoluyla zamanımıza kadar gelmiştir. 

Thales’in ünlü olması

Thales' in astronomide kurucu kabul edilmesine ve üne kavuşmasına sebep olan olaylardan en önemlisi şudur:
Atina'da M.Ö. 28 Mayıs 585 tarihinde görülebilecek Güneş tutulma olayını, tutulmanın olmasından önce haber vermiştir. Thales' e büyük ün kazandıran bu olay aslında Babilliler tarafından daha önceden bilinmekte idi. 

Thales' in bu bilgiyi eski Mısır ve Mezopotamya' dan elde ettiği bilinmektedir.

Matematikçi olarak Thales

Matematikte kurucu addedilmesine sebep olan bilgileri de şunlardı: bir dairenin içine üçgen çizme probleminin çözümü. cisimlerin (piramitlerin) gölgesi yardımıyla yüksekliğinin hesabı, üçgenlerin kenarları ile ilgili bağıntılar ters açıların eşitliği konusu, küresel üçgenlerin bazı özellikleri eşkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği teoremi 

Fizikçi olarak Thales

Fizikte kurucu addedilmesine sebep olan bilgileri de şunlardır. Bazı cisimlerin demir üzerindeki çekim etkisi, Nil Nehri'nin taşmasının nedenlerinin açıklanması.

Thales’in Mısır ve Mezopotomya gezileri

Thales‘in bilimlerde kurucu unvanını almasını sağlayan bilgiler, Thales'ten 2000 yıl kadar önceleri Eski Mısırlılar ve Mezopotamyalılar tarafından bilinmekteydi. Thales, eski Mısır ve Babil'e yaptığı gezileri sırasında, buralarda eski dönemlerin bilim ve tekniklerini dönemin bilginlerinden öğrenmiştir ve bu suretle Yunan felsefesinin, geometri ve astronomisinin gelişmesine başlangıç noktası olarak temel kavramlar edinmiştir.

Thales’in kurmuş olduğu Miletos Okulu

Thales’in kurmuş olduğu Miletos Okulu' nun öğrencileri olarak, Anaxımandros (M.Ö. 610-543) ve Anaximenes (M.Ö. 546 ) yetişmiştir. Kaynaklar, Pisagor 'un da (M.Ö. Sisam 570 -****pante 500?) bu okulda yetiştiği ve Thales'in öğrencisi olduğunu belirtir.

Pisagor (M.Ö. 596 - 500)

Samos'lu Pisagor'un, Milattan önce 596 yıllarında doğduğu tahmin ediliyor. Doğumu gibi ölüm tarihi de kesin değildir. Bugünkü adıyla bilinen Sisam Adasında 596 veya 582 yılında doğmuştur. Hayatı hakkında çok az bilgiler vardır. Bu bilgilerin birçoğu da kulaktan kulağa söylentiler biçiminde gelmiştir. Fakat, önceleri doğduğu yer olan Sisam Adasında okuduğu, daha sonraları Mısır ve Babil'e giderek oralarda bilgilerini ilerlettiği ve ülkesine geri dönerek dersler verdiği söylenir. Kendisinden önceki bilgilerin tümünü öğrenmiş ve derlemiştir. Kendisi, bir Yunan filozofu ve matematikçisidir. 
Pisagor ve öğrencileri
Ülkesinde hüküm süren politik baskılardan kaçarak, milattan önce 530 da İtalya’da Croton’a taşınır ve orada kendi açtığı ünlü okulunda matematik, geometri, müzik ve ruhun bir bedenden diğerine geçmesi alanlarındaki dersleri verir. Bu okul aynı zamanda dini bir topluluk ve o zamanın politikasına oldukça egemendir. Yine söylentilere göre, Pisagor'un matematik, fizik, astronomi, felsefe ve müzikte getirmek istediği yenilik, buluşlar ve gelişmeleri hazmedemeyen bir takım siyaset ve din yobazları halkı Pisagor'a karşı ayaklandırarak okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencileri bu okulun içinde alevler arasında M.Ö. 500 yıllarında ölmüşlerdir. Bu nedenle Pisagor ve yaptıkları hakkında çok az bilgi bize kadar gelmiştir. Pisagor'un ve öğrencilerinin yaptıklarının birçoğu bu alevler arasında yok olup gitmiştir.


Pisagor, M.Ö. altıncı yüzyılda, dünyanın güneş etrafında hareket ettiğini ileri sürdüğü zaman oldukça sert olan bir tepkiyle karşılaşmıştır. O tarihlerde bu buluşlarını nasıl elde ettiği, yine bu devirlerdeki bilgilerin hangisinin Pisagor'a ait olduğu kesin olarak bilinmemektedir. Hatta, okuldaki öğretim araçlarının masa üzerindeki ıslak kum olduğu söylenir. Bu koşullar altındaki ilmi gerçeklerin tümü o zaman yazıya geçmediği için, birçoğu da zamanla kaybolup gitmiştir. Bu nedenle, Pisagor'un okulu ve öğrencileri ile birlikte yanmalarından, eser bırakıp bırakmadığı da kesin olarak belli değildir. 

Geometride, aksiyomlar ve postülatlar her şeyden önce gelmelidir. Sonuçlar bu aksiyom ve postülatlardan yararlanılarak elde edilmelidir düşüncesini ilk bulan ve ilk uygulayan matematikçi Pisagor'dur. Matematiğe aksiyomatik düşünceyi ve ispat fikrini getiren yine Pisagor'dur. Çarpım cetvelinin bulunuşu ve geometriye uygulanması, yine Pisagor tarafından yapıldığı söylenir. En önemli buluşlarından biri de, doğadaki her şeyin matematiksel olarak açıklanması ve yorumlanması düşüncesidir. Yaşayış ve inanışa, ilimle açıklama ve yorumlamayı o getirmiştir. 

Pisagor ve müzik
Müzik üzerine de çalışmaları vardır. Müzik tonlarının, telin uzunluğunun oranlarına bağlı olduğunu keşfetmiş ve bunun tüm sayılara yorumlamasını düşünmüştür. Bir yerde bugünkü gerçel ekseni söylemeden düşünmüştür. Bu da, bugünkü kullandığımız gerçel eksenin sayı sisteminde kullanılmasından başka bir şey değildir. 

Fakat, eski Yunan matematikçileri ilk zamanlar gerçel sayıları bilmiyorlardı. O zamanlar, rasyonel sayıları uzunlukları ölçmek için kullanıyorlardı. Bunun için belli bir birim alıyorlar ve bu birime oranlayarak iki nokta arasındaki uzunluğu ölçüyorlardı. Rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun keşfi günümüzden 2600 yıl önce Yunan matematikçileri tarafından olmuştur. Bu sonuç, halen değerini koruyan ve koruyacak olan ünlü Pisagor teoremine dayanır. Pisagor teoremi, matematikteki en büyük buluşlardan biridir. Hele zamanımızdan 2600 yıl önce bulunduğu göz önüne alınırsa, bundan daha büyük bir buluş düşünülemez. 

Pisagor'un adını 2600 yıldır andıran, onu ünlü yapan ve insanlığın varolduğu sürece de sonsuza kadar da andıracak meşhur Pisagor teoremi matematikte en meşhur teoremlerden biridir. Bu teoremin çok sayıda farklı ispatı vardır (hatta 1876 yılında Başkan Garfield tarafından yapılan bir ispatı da vardır), ve şimdi artık bilinmektedir ki Pisagor’un (M.Ö.572) zamanından 1000 yıl önce Babilliler’in Pisagor teoremi hakkında bilgileri vardı. Ancak genel bir ispatı için geometrinin gelişmesine gerek vardır ve Pisagor’un ilk ispatı elde ettiği kabul düşünülmektedir. 
Pisagor teoremi, rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunlukların da varolduğunu gösterir. Örneğin, dik kenarları birer birim olan bir dik üçgeni göz önüne alalım. Geometrik olarak, bu özel hal için, Pisagor teoremi gerçeklenir. Yani, büyük karenin alanı, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanları toplamıdır. Diğer bir deyimle, x2=2 olur. Bu denklemin kökü de rasyonel olmayan karekök 2 uzunluğudur. Yunan matematikçileri gerçel sayıları bilmiyorlardı. Üstün zekalı Eudoxos tarafından bulunan oranlama yöntemini kullanıyorlardı. On tabanına göre sayıların sayılması ve yazılması, büyük bir olasılıkla iki eldeki parmakların sayılmasından doğmuştur. Şu sıralarda bile ilkel yaşam sürdüren bazı kabilelerde buna benzer sayma yöntemi vardır. On tabanına göre sayıların yazılması ve okunması, Avrupa'ya Arap dünyasından gelmiştir. Bunu Araplar Hintlilerden aldılar. 

"Evrenin hakimi sayıdır. Sayılar evreni yönetiyor" sözleri de Pisagor'a aittir.

Pisagor’un Mısır ve Babil Gezileri

Pisagor hem mistik ve hem de matematikçidir. Mistik tarafları çoktur. Bunlar, efsaneleşmiş bir biçimde destan olarak anlatılmış, evren hakkında bu günkü gerçeklere uymayan düşünceler de ileri sürmüştür. Bunları bir tarafa bırakırsak, yine yaşadığı çağa göre matematikçi yönü çok ağır basar. Pisagor, Mısır'da ve Babil'de çok gezmiştir. Rahiplerden ve imparator katiplerinden ilim öğrenmiş. Çok tanrılı olan o zamanın dini inançlarını benimsedi. 

Yunan matematikçilerinin bilim dünyasını yanlış yönlendirmesi

Pisagor ve bazı Yunan filozofları, örneğin, Euclides, Eflatun ve Aristo gibi alimleri, yaşadığı devirlerde, bugün için bilinen ilmi gerçeklerde hataya düşmüşlerdir. Bu filozofların felsefeleri, modern matematiğin kurucusu Descartes (1596-1650) ve Newton (1564-1642) kadar, modern fiziğin kurucusu Galile (1564-1642) ve modern kimyanın kurucusu olan Lavoisier (1743-1794) zamanına kadar iki bin yıllık bir gecikmeye nedenolmuşlardır. 

Medeniyetin 2000 yıllık gecikmesi 

Eğer Yunan'lılar Euclides, Eflatun ve Aristo yerine Archimedes'i izlemiş olsalardı, Descartes, Newton, Galile ve Lavoisier'in kurdukları modern ilme iki bin yıl önce ulaşır ve bugün içinde bulunduğumuz medeniyete iki bin yıl önce varılırdı. Yani, Archimedes'le Newton, Galile ve Lavoisier arasında tam iki bin yıllık bilimsel boşluk vardır. Bu boşluk da kolay kolay doldurulamaz. Bu nedenle, Yunan'lıların medeniyetin ilerlemesine iki bin yıllık bir gecikmeye sebep oldukları bir gerçektir.

Baskıcı rejimlerde bilimin ilerleyemeyişi

Avrupa'da uzun yıllar egemen olan ve hüküm süren skolastik düşüncenin temeli Yunanistan'da atılmış ve İtalya'da geliştirilmiştir. Bu nedenle de uzun yıllar bu skolastik düşünce yenilememiştir. Bu uğurda çok sayıda ilim adamı yok edilmiştir.

Pisagor'dan önce, geometride, şekillerin aralarındaki bağlılıklar gösterilmeksizin elde edilenler, görenek ve tecrübeye dayanan bir takım kurallardı. Bu nedenle, daha önce gelen bir yetkili ne demişse o sürüp gidiyordu. Pisagor'un matematiğe ispat fikrini sokması bu yüzden çok önemlidir. O çağlarda çok tanrılı din vardı. Pisagor daha da ileri gidiyor ve "tanrı sayıdır" diyordu. 

Bu sayılar, 1, 2, 3..., şeklinde bugün bildiğimiz doğal sayılardı. Daha sonra, kendi kendine bir çelişkiye düştüğünü, tamsayıların hatta rasyonel sayıların bile matematiğe yetmediğini, kendi adıyla anılan Pisagor teoremiyle gördü. Buna bir süre karşı da çıktı. Fakat, sonunda bu yenilgiyi kabul etmesini de bildi. Olay karekök 2 şeklinde rasyonel bir uzunluğun olmaması problemidir. Halbuki Pisagor teoremine göre böyle bir uzunluk vardır. Pisagor'un kuramını yıkan problem, a2=2b2 denklemini gerçekleyen a ve b gibi iki tamsayıyı bulmak olanaksızdır. Pisagor'un karşılaştığı ikinci güçlük, bir karenin kenarının köşegenine bölümünün rasyonel bir sayı olmayışıdır. Bu söylediğimiz, a2=2b2 denkleminde adı geçen olaya eşdeğer olduğu açıktır. 

Bu problemi bugünkü matematik diliyle söylersek, karekök 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır. İşte, karenin köşegeni gibi basit bir uzunluk, Pisagor'un doğal sayılar kümesine meydan okuyarak, Pisagor'un ilk felsefe kuramını yalanlamıştır. Böylece, hiç bir zaman tekrar etmeyen sonsuz ondalıklı olan irrasyonel sayı bulunmuş olunur. Pisagor'un bu buluşu, modern analizin kökünü keşfetmiştir. Bu problem bir yerde, sıfır ile iki sayısı arasını rasyonel sayılarla kaplayabilir miyiz sorusunu doğurur. Yanıt hemen hayır olacaktır. Çünkü, 0<a<2 eşitsizliğini sağlayan karekök 2 sayısı rasyonel değildir. 1,41 ile 1,42 sayıları arasında rasyonel olmayan bir sayıdır. 

İşte, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılarla sıfır sayısından iki sayısına sürekli olarak gitmek mümkün diyenlerle, mümkün değildir diyenler arasında uzun yıllar tartışma olmuştur. 20. yüzyılda çıkan Brouwer'e kadar bu tartışma çeşitli şekillerde karşımıza çıkmıştır. Mümkün değil diyenler hiç bir ilerleme göstermeden yerinde saymışlar ve az hata yapmışlar fakat, mümkün diyenlerse çalışarak ve biraz da fazla hata yaparak bugünkü modern matematiğe ulaşmışlardır. 

          ORTAÇAĞ
İslâm Dünyası'nda başta aritmetik olmak üzere, matematiğin geometri, cebir ve trigonometri gibi dallarına önemli katkılarda bulunan matematikçiler yetişmiştir. Ancak bu dönemde gerçekleşen gelişmelerden en önemlisi, geleneksel Ebced Rakamları'nın yerine Hintlilerden öğrenilen Hint Rakamları'nın kullanılmaya başlanmasıdır.

Konumsal Hint rakamları, 8. yüzyılda İslâm Dünyası'na girmiş ve hesaplama işlemini kolaylaştırdığı için matematik alanında büyük bir atılımın gerçekleştirilmesine neden olmuştur.

Daha önce Arap alfabesinin harflerinden oluşan harf rakam sistemi kullanılıyordu ve bu sistemde sayılar, sabit değerler alan harflerle gösteriliyordu. Örneğin için a harfi, 10 için y harfi ve 100 içinse k harfi kullanılıyordu ve dolayısıyla sistem konumsal değildi. Böyle bir rakam sistemi ile işlem yapmak son derece güçtü. 

Erken tarihlerden itibaren ticaretle uğraşanların ve aritmetikçilerin kullanmaya başladıkları Hint Rakamları'nın üstünlüğü derhal farkedilmiş ve yaygın biçimde kabul görmüştü. Bu rakamlar daha sonra Batı'ya geçerek Roma Rakamları'nın yerini alacaktır.

Cebir bilimi İslâm Dünyası matematikçilerinin elinde bağımsız bir disiplin kimliği kazanmış ve özellikle Hârizmî, Ebu Kâmil, Kerecî ve Ömer el-Hayyâm gibi matematikçilerin yazmış oldukları yapıtlar, Batı'yı büyük ölçüde etkilemiştir.

İslâm Dünyası'nda büyük ilgi gören ve geliştirilen bilimlerden birisi olan astronomi alanındaki araştırmalara yardımcı olmak üzere trigonometri alanında da seçkin çalışmalar yapılmıştır. Bu konudaki en önemli katkı, açı hesaplarında kirişler yerine sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonometrik fonksiyonların kullanılmış olmasıdır.

YENİÇAĞ 


Bu dönem diğer alanlarda olduğu gibi matematik alanında da yeniden bir uyanışın gerçekleştiği ve özellikle trigonometri ve cebir alanlarında önemli çalışmaların yapıldığı bir dönemdir. 

Trigonometri, Regiomontanus, daha sonra da Rhaeticus ve Bartholomaeus Pitiscus`un çabalarıyla ve cebir ise Scipione del Ferro, Nicola Tartaglia, Geronimo Cardano ve Lodovice Ferrari tarafından yeniden hayata döndürülmüştür.

Yapılan çalışmalar sonucunda geliştirilen işlem simgeleri, şu anda bizim kullandıklarımıza benzer denklemlerin ortaya çıkmasına olanak vermiş ve böylelikle, denklem kuramı biçimlenmeye başlamıştır.

Rönesans matematiği özellikle Raffaello Bombelli, François Viète ve Simon Stevin ile doruk noktasına ulaşmıştır. 1585 yılında, Stevin, aşağı yukarı Takîyüddîn ile aynı anda ondalık kesirleri kullanmıştır.

Bu dönemde çağdaş matematiğin temelleri atılmış ve Pierre de Fermat sayılar kuramını, Pascal olasılık kuramını, Leibniz ve Newton ise diferansiyel ve integral hesabı kurmuşlardır.

YAKINÇAĞ


Bu dönemde Euler ve Lagrange, integral ve diferansiyel hesabına ilişkin 17. yüzyılda başlayan çalışmaları sürdürmüş ve bu çalışmaların gök mekaniğine uygulanması sonucunda fizik ve astronomi alanlarında büyük bir atılım gerçekleştirilmiştir. Mesela Lagrange, Üç Cisim Problemi'nin ilk özel çözümlerini vermiştir.

Bu dönemde matematiğe daha sağlam bir temel oluşturmaya yönelik felsefi ağırlıklı çalışmalar genişleyerek devam etmiştir. Russell, Poincaré, Hilbert ve Brouwer gibi matematikçiler, bu konudaki görüşleriyle katkıda bulunmuşlardır.

Russell, matematik ile mantığın özdeş olduğunu kanıtlamaya çalışmıştır. Matematiğin, sayı gibi kavramlarını, toplama ve çıkarma gibi işlemlerini, küme, değilleme, veya, ise gibi mantık terimleriyle ve matematiği ise "p ise q" biçimindeki önermeler kümesiyle tanımlamıştır.

Hilbert'e göre ise, matematik soyut nesneleri konu alan simgesel bir sistemdir; mantığa indirgenerek değil, simgesel aksiyomatik bir yapıya dönüştürülerek temellendirilmelidir.

Sezgici olan Brouwer de matematiğin temeline, kavramlara somut içerik sağlayan sezgiyi koyar; çünkü matematik bir teori olmaktan çok zihinsel bir faaliyettir. Poincaré'ye göre de matematiğin temelinde sezgi vardır ve matematik kavramlarının tanımlanmaya elverişli olması gerekir.

Yine bu dönemin en orijinal matematikçileri olarak Dedekind ve Cantor sayılabilir. Dedekind, erken tarihlerden itibaren irrasyonel sayılarla ilgilenmeye başlamış, rasyonel sayılar alanının sürekli reel sayılar biçimine genişletilebileceğini görmüştür. Cantor ise, bugünkü kümeler kuramının kurucusudur.